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已知函数F(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R...

由题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0∵对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),∴函数的周期为4,∴f(2012)=f(4×503)=f(0)=0∵当x∈(-2,0)时,f(x)=2 x ,∴f(-1)= 1 2 ,∴f(1)=- 1 2 ∴f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=- 1 2 ∴f...

∵对任意x∈R有f(x)=f(2-x)成立∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数∴函数f(x)是一个周期函数且T=4故f(2010)=f(0)又∵定义在R上的奇函数其图象必过原点∴f(2010)=0故答案为:0

当x=0时, f(-32)=-f(0)=-0=0 注意,对于任意奇函数,总有f(0)=0

当x≥0时,f(x)=x2∵函数是奇函数∴当x<0时,f(x)=-x2∴f(x)=x2(x≥0)?x2(x<0).,∴f(x)在R上是单调递增函数,且满足4f(x)=f(2x),∵不等式f(x+2t)≥4f(x)在[t,t+2]恒成立,∴x+2t≥2x在[t,t+2]恒成立,即:t≥12x在[t,t+2]恒成立,∴t...

∵对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),∴函数在[0,+∞)内的一个周期T=2,∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-2011)+f(2012)=-f(2011)+f(2012)=-f(2011)+f(2012)=-f(1)+f(0)又当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),∴f(...

∵f(x)=|x-a|-a=x?2a,x≥a?x,x<af(x)的图象如图所示:当x<0时,函数的最大值为a,∵对x∈R,恒有f(x+1)≥f(x),要满足f(x+l)≥f(x),1大于等于区间长度3a-(-a),∴1≥3a-(-a)>0解得0<a≤14,故选:D

由条件可知,f(x)在(0,+∞)上为增函数,函数f(x)在R上为奇函数,则在(-∞,0)上为增函数,f(-x)=-f(x),由f(1)=0,则f(-1)=0,不等式f(x)?f(?x)x<0即为2f(x)x<0,即有x>0f(x)<0=f(1)或x<0f(x)>0=f(?1),即有0<x<1或-1...

令F(x)=xf(x),则F ′ (x)=f(x)-xf ′ (x).因为f(x)+xf′(x)<0,所以函数F(x)在x∈(-∞,0)上为减函数.因为函数y=x与y=f(x)都是定义在R上的奇函数,所以函数F(x)为定义在实数上的偶函数.所以函数F(x)在x∈(0,+∞)上为...

(1)设x1<x2,则x1-x2<0,则由条件可得f(x1)+f(?x2)x1?x2>0,则f(x1)+f(-x2)<0,即f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x1)-f(x2)<0,则f(x1)<f(x2),则f(x)在R上为增函数;(2)∵f(x)在R上为增函数且函数f(x)是奇函数,若f...

由f(x+2)=-f(x)得f(x+4=f(x),即函数的周期是4.∴f(19)=f(20-1)=f(-1)=f(1),当x=-1时,由f(x+2)=-f(x)得f(-1+2)=-f(-1)=-f(1),即f(1)=0,∴f(19)=f(1)=0,故选:C.

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