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(理) 已知函数F(x)=x%ln(x+A)在x=1处取得极...

已知函数f(x)=ln(x+1)+kx²(k∈R); (1)若函数y=f(x)在x=1处取得极大值,求k的值;(2)x∈[0,+∞),函数y=f(x)图像上的点在 x≥0,y-x≥0所表示的区域内,求k的取值范围; (3)证明[m=1,n] ∑2/(2m-1)-ln(2n+1)

(1)f′(x)=1x+1+a由f′(0)=0,得a=-1,此时f′(x)=1x+1-1.当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(-1,0)上单调递增;当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;∴函数f(x)在x=0处取得极大值,故a=-...

y=x?2xy'=2x+xln2?2x令y'=0得:1+xln2=0;即:x=?1ln2y″=ln2?2x+ln2?2x+xln2?ln2?2x=(2ln2+xln2?ln2)2x=(2+xln2)2x?ln2显然有:2x?ln2>0当x=?1ln2时:2+xln2=2-1>0因此:当x=?1ln2时,y″>0所以:x=?1ln2时,y取得极小值.

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